深入浅出HALCON几何变换

在机器视觉系统中，镜头是重要成像部件之一，而基于小孔成像原理的工业镜头往往会产生透视畸变现象，如何校正畸变是进行图像分析的前提 ，这其中就会用到投影变换，也是几何变换的一种。除此之外，图像处理中常用到的平移、旋转、缩放等，也属于几何变换。本文将通过实例详细介绍HALCON中的几何变换。

齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如二维点p(x,y)àp(x,y, w)就成了齐次坐标，同理三维点p(x,y,z)àp(x,y,z, w)也成了齐次坐标。显然，齐次坐标的表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但一般在几何变换中，总是取w=1。齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易于进行几何变换。

以点p(x,y)为例，如果想把它平移至p(x+a,y+b)，是不可能用矩阵计算完成的，现在换成齐次坐标(x,y,1),通过矩阵相乘(左侧公式) ，很方便得到平移后的坐标(x+a,y+b)。通常把变换矩阵写到左侧，为了保持一致把变换矩阵改成右下角形式，这就是齐次变换矩阵。

在同一变换矩阵中既表示姿态（旋转、缩放等）又表示位置（平移），这种形式的矩阵称为齐次变换矩阵。如下：

齐次坐标的使用，使得几何变换更容易计算，尤其对于仿射变换（二维/三维）更加方便，由于图形硬件、视觉算法已经普遍支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它成为图形学中的一个标准，下面提到的几何变换（仿射变换）都以齐次坐标和齐次变换矩阵为基础。

几何变换包括：

相似变换（Similarity Transformation）

仿射变换（Affine Transformation）

投影变换（Projective Transformation）

注：线性变换不包含平移，所以没有归入几何变换，总之HALCON中常用几何变换是仿射和投影变换，而相似变换是仿射变换的一种简单情况！相似变换、仿射变换、投影变换既可以发生在二维空间内也可发生在三维空间内。

相似变换的定义：由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），任何相似变换都可以分解为等比例缩放、平移、旋转的组合，例如，对于缩放，用齐次变换矩阵可以如下表示(二维和三维），其中a≠0。

仿射变换的定义：由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形，在改变的过程中保持直线和平行线不变(平行线映射为平行线），任何仿射变换都可以分解为缩放、平移、旋转和切变(Shearing)的组合，对于仿射变换，齐次变换矩阵如下表示(二维和三维）：

对于仿射变换，有两个比较特殊的变换：非等比例缩放和切变（如下图），除了这两个特殊的变换之外，相似变换可以看做是仿射变换的特殊形式，注：线性变换包括旋转、缩放、切变，但不包含平移，因此仿射变换也定义为一个线性变换再加上一个平移变换。

投影变换的定义：变换过程中，直线映射为直线(但不一定保证平行度)，任何二维投影变换都可以用3x3可逆矩阵表示，而任何三维投影变换都可以用4x4可逆矩阵表示。如下：

从定义来看，仿射变换可以看做是投影变换的特殊形式。另外，把投影变换矩阵的最后一行变为[0,0,1]或者[0,0,0,1]，即可变为仿射变换矩阵，也可以证明仿射变换是投影变换的特殊形式。因此，对于平移、缩放、切变等，仿射变换和投影变换都可以实现。

如下例子，把左图进行旋转操作变成右图，可以用仿射变换和投影变换两种方式实现。

• 仿射变换实现方法

hom_mat2d_identity (HomMat2DIdentity)

hom_mat2d_rotate (HomMat2DIdentity, rad(-90), 256, 256, HomMat2DRotate)

affine_trans_image (Image, ImageAffinTrans, HomMat2DRotate, 'constant', 'false')

• 投影变换实现方法之一

  （直接用给定点生成投影变换矩阵）

hom_vector_to_proj_hom_mat2d([0,0,512,512],[0,512,512,0],[1,1,1,1], [512,512,0,0], [1,1,1,1], ‘dlt', HomMat2D)

projective_trans_image (Image, TransImage, HomMat2D, 'bilinear', 'false', 'false')

• 投影变换实现方法之二

  （用三维仿射变换矩阵生成投影变换矩阵）

注：对于旋转来说，也可以看做是相机沿Z轴旋转90度后的成像效果，因此也可以用三维仿射变换，先转换相机坐标系，再生成投影变换矩阵！

hom_mat3d_identity (HomMat3DIdentity)

hom_mat3d_rotate (HomMat3DIdentity, rad(90), 'z', 256, 256, 512, HomMat3DRotate)

hom_mat3d_project (HomMat3DRotate, 256, 256, 512, HomMat2D)

projective_trans_image (Image, TransImage, HomMat2D, 'bilinear', 'false', 'false')

旋转示例中的仿射变换矩阵（也是齐次变换矩阵）

旋转示例中的投影变换矩阵（3X3），也是可逆矩阵

同理，缩放、切变等，仿射变换和投影变换也都可以实现，但如下变换，只能用二维投影变换矩阵实现，因为变换过程中没有保证线的平行性。

HALCON中所用的变换知识只涉及到了二维、三维仿射变换和二维投影变换，二维仿射变换多用于平面图像的平移、旋转、缩放等；三维仿射变换多用于三维坐标系的平移、旋转等（或者用3D位姿表示），而二维投影变换多用于校正透视畸变，也就是三维空间的景象如何投影到相机靶面上的效果，如果相机和被测平面不垂直就会有畸变。

在成像过程中，普通工业镜头（小孔成像原理）都会带来透视畸变，也就是常见的近大远小现象，除非相机和被测平面保持绝对垂直，否则透视畸变是不可避免的。因此，通过三维空间的仿射变换（变换坐标系，使相机不垂直于被摄平面），可以产生透视畸变效果，也就是相当于进行了投影变换，HALCON也提供了算子hom_mat3d_project，能直接把三维仿射变换矩阵转换成二维投影变换矩阵（4x4的矩阵转换成3x3矩阵）。下面我们通过一个例子来说明一下。

首先生成单位矩阵，进行一系列的旋转变换，产生三维仿射变换矩阵，也就是使得相机和被摄平面不垂于！

hom_mat3d_identity (HomMat3D)

hom_mat3d_rotate (HomMat3D, rad(20.0), 'z', PrincipalRow, PrincipalColumn, Focus, HomMat3D)

hom_mat3d_rotate (HomMat3D, rad(35.0), 'y', PrincipalRow, PrincipalColumn, Focus, HomMat3D)

hom_mat3d_rotate (HomMat3D, rad(25.0), 'x', PrincipalRow, PrincipalColumn, Focus, HomMat3D)

把三维仿射变换矩阵再转化成二维投影变换矩阵

hom_mat3d_project (HomMat3D, PrincipalRow, PrincipalColumn, Focus, ProjectionMatrix)

进行投影变换，也就是我们看到的右侧的效果

projective_trans_image (Image, TransImage, ProjectionMatrix, 'bilinear', 'false', 'false')

另外一种方法是，直接使用给定点生成投影变换矩阵，可以得到同样的效果

hom_vector_to_proj_hom_mat2d ([0,0,512,512], [0,512,512,0], [1,1,1,1], [-120,146,555,296], [120,752,368,72], [1,1,1,1], 'normalized_dlt', HomMat2D)

projective_trans_image (Image, TransImage1, HomMat2D, 'bilinear', 'false', 'false')

上面的这个例子是很好的说明了透视畸变现象如何产生的，左侧图是相机垂直于被摄平面，没有透视变形现象。然后进行了一系列的三维仿射变换，产生的效果就是相机不再垂直于被摄面，所以右图产生了透视畸变现象，那么从左图到右图恰恰是进行了一次二维投影变换。因为投影变换矩阵是可逆的，所以也可以把右图校正为左图，这恰恰是HALCON中投影变换的用处所在！

以下例子也是HALCON中典型的畸变校正示例，使用的正是投影变换。

解释一下HALCON中的：

hom_mat2d_*和hom_mat3d_*算子

hom_mat2d_identity产生2x3矩阵，用于描述二维变换，实际上是3x3齐次变换矩阵(仿射变换)；

hom_mat3d_identity产生3x4矩阵，用于描述三维变换，实际上是4x4齐次变换矩阵(仿射变换)；

hom_mat2d_*既支持2x3矩阵（仿射变换）也支持3x3矩阵（投影变换）;

hom_mat3d_*支持3x4矩阵（仿射变换），也就是4x4齐次变换矩阵

关于如何在HALCON中生成的：

仿射变换矩阵和投影变换矩阵

仿射变换矩阵

用hom_mat2d_identity或者hom_mat3d_identity产生单位矩阵，然后经过平移、旋转、缩放等操作后得到仿射变换矩阵。

投影变换矩阵

hom_mat3d_project能直接把三维仿射变换矩阵转换成投影变换矩阵，如果知道空间坐标系是如何变换的，可以用这种方法；

hom_vector_to_proj_hom_mat2d用给定点生成投影变换矩阵，输入点的坐标为三维齐次坐标，可以支持无穷远点和有限远点的变换；

vector_to_proj_hom_mat2d用给定点生成投影变换矩阵，输入点为二维非齐次坐标，支持有限远的点的变换；

注：对于涉及有限远点的变换，以上两个算子都可以！